t 分布，t distribution
- 概要: t 分布とは
- t 分布の特徴
- 実際に t 分布を描いてみる
関連項目
t 検定を理解するために
この順で読んでみてください。
概要: t 分布とは
まず，2 つの集団を考えてみる。
- 母集団 parent population: 平均 μ，分散 σ2，標準偏差 σ の正規分布。
- この母集団からとってきた標本集団 sample population: 平均 m，不偏分散 u2，不偏分散の標準偏差 u。
ここで，変数 t を以下のように定義する。分子は標本集団の平均から母集団の平均を引いたもの，分子は標本集団の標準偏差（不偏分散の標準偏差）をサンプル数 n の平方根で除したものである。
この t は統計検定量と呼ばれ， この t が従う分布を t 分布という。
t 分布は左の式で表される。ここで，Γ はΓ関数，ν は自由度 degree of freedom（サンプル数 n から1 を引いたもの）である。
t 分布が考案された背景
実際の背景を反映していないかもしれないが，理解の順としては
- 仮説検定の手順として，検定統計量が必要である（仮説検定のページ）。
- 正規分布に従う z 値を用いた z 検定があるが，これを算出するには母集団の分散が必要。普通の実験では，母集団の分散は未知である（z 検定のページ）。
- そこで，標本集団のデータのみから算出できる t 値と，それが従う t 分布が考案された。
t 分布の特徴
-
t 分布は自由度のみの関数となり，母集団，標本集団の平均値や標準偏差に左右されない。
- n が大きいときは標本集団の「単なる標準偏差」を使うことができるが，n が小さくなるほど誤差が出てくるので，「不偏分散の標準偏差（n のかわりに n-1 を使う）」にしなければならない。
z 値とその他の t 値
t 値をネットで検索すると，そのサイトの説明の仕方に応じていろいろな式が出てきてしまい，これがまず混乱する。最初の段階として，t 値には，データの種類によって複数の計算式がある ことを認識しよう。
母集団と標本集団の平均，標準偏差が全てわかっている状態では，t 値に非常によく似た z 値が用いられる（左）。 これを用いる検定は z 検定である。
m は標本平均，μ は母平均，σ は母標準偏差（母集団の標準偏差），n は標本数。
論より証拠ということで，MATLAB を使って t がどのように分布するのか調べてみます。
- 母集団 parent population: 平均値 mean_p，標準偏差 sd_p
- 標本集団 sample population: 平均値 mean_s，標準偏差 sd_s，サンプル数 n
まずは，基本的な条件として mean_p=0, sd_p=1, 母集団の要素を 1,000,000 個，n = 100 としてみます。興味のある人は，右上のリンク先にある script も見てみて下さい。
母集団のヒストグラム。縦軸は要素の個数です。
n = 100 の標本集団。母集団の分布をあまり反映していないように見えますが，ランダムサンプリングなのでこんなものです。
母集団から 100 個を取り出す作業を 1 回行い，上のようなヒストグラムを得ました。このときの t は -0.9636 でした。次に，「母集団から 100 個を取り出す」 作業を複数回繰り返し，t の値がどのように分布するのかを調べてみます。
10 回の繰り返し。まだ t の値はばらばらで，一定の傾向は見えません。
1,000 回。山型の分布になってきましたが，まだガタガタしています。
100,000 回。ほぼ理想的な分布になりました。
100 回。なんとなく，t は 0 に近い値を取る確率が高そうに思えてきました。
10,000 回。もう分布の形がはっきりわかるようになってきました。 ± 3 以上の値は極めて稀です。
References
- 検定統計量 T の式. Web.