主成分分析: Principal component analysis
概要: PCA とは
主成分分析 (principal component analysis; PCA) とは，データに含まれる変数とは異なる指標を設定し，変数間の関係を把握しやすくするための統計手法である。身体検査の例（1）がわかりやすかったので，これを例に説明する。
身長と体重がデータとしてあるとき，おそらく両者は右図のように正の相関を示すだろう。
このデータに，「体の大きさ」という 新たな指標を導入すると，変数間の関係や特徴を把握しやすくなる。
要するに，このデータを「でかい人は身長も体重も大きい」と解釈できるようになるのである。
これが主成分分析の基本的な考え方で，この例では「体の大きさ」が 第一主成分 (PC1) と呼ばれる（1）。
もともと身長・体重という 2 種類の指標で表されていたデータを「体の大きさ」という指標で代表させるため，主成分分析によって 2 次元のデータを 1 次元のデータに変換したと考えることができる。ただし，これに伴って情報は損失している。
ピアソンの相関 のページにある自動車の重量と馬力の相関の図。横軸を体重，縦軸を身長だと考えてもらえると，このページでも参考になる。
元のページでは，「肥満の程度」というもう一つの新たな指標（第二主成分）を考えている。この場合はもとの変数が 2 つ，主成分分析によって生じた新たな指標が 1 or 2 個だが，多くの場合もとの変数はもっと多く，それを 2 つの新しい指標で代表させることが多い。
主成分は，各変数の線形結合として与えられる（1）。
寄与率
新たに作られた主成分（新しい指標）は，もとのデータをある程度表現しているはずである。この程度を表すものが 寄与率 である。
References
- 加納 2002a. 主成分分析 初心者向けテキスト. Pdf file.